קרינת גוף שחור

מתוך Astropedia

(הופנה מהדף Black Body Radiation.html)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גוף שחור (באנגלית: Black body), על פי הגדרה, הינו גוף שבולע (בניגוד למחזיר) את כל הקרינה הנופלת עליו. הגדרה זו אין משמעותה שגוף שחור איננו פולט קרינה, אלא שהוא איננו מחזיר קרינה הנופלת עליו. מאחר וגוף כזה מתחמם כתוצאה מהקרינה הנופלת עליו הוא מתחיל לקרון קרינה אלקטרומגנטית שעוצמתה, ליחידת שטח מהגוף (כתלות באורך הגל), תלויה רק בפרמטר אחד והוא טמפרטורת הגוף השחור. קרינה שיש לה את המאפיינים הנ"ל נקראת קרינת גוף שחור.

המונח גוף שחור הוכנס לשימוש ע"י הפיזיקאי גוסטב קירכהוף (Gustav Kirchhoff) בשנת 1862. במשך זמן רב, ההסבר הפיזיקלי לצורת העקומה והתלות שלה בטמפרטורה לא היה ידוע. רק בשנת 1900, היסודות לפיתרון החידה הונחו ע"י הפיזיקאי מקס פלאנק (Max Planck), שעל שמו קרוי גם קבוע פלאנק. ההסבר לתופעת קרינת הגוף השחור נעוץ במכניקת הקוונטים.


תוכן עניינים

עקומת הקרינה של גוף שחור (התפלגות פלאנק)

קרינת גוף שחור תאורטית לגוף ששטחו ס"מ רבוע בטמפרטורה של 3000, 4000 ו 5000 קלווין.
קרינת גוף שחור תאורטית לגוף ששטחו ס"מ רבוע בטמפרטורה של 3000, 4000 ו 5000 קלווין.

עוצמת הקרינה הסגולית ליחידת אורך גל, Iλ, מגוף שחור (ביחידות של ארג לשנייה לס"מ רבוע לאנגסטרם) ניתנת ע"י:

I_{\lambda}=2\pi h c^{2} \lambda^{-5} \frac{1}{\exp{(hc/[ \lambda k_{B} T])}-1}

כאשר T הינה טמפרטורת הגוף השחור, h הינו קבוע פלאנק, c הינה מהירות האור, kB קבוע בולצמן, וλ אורך הגל (ראו גרף משמאל).

ואילו עוצמת הקרינה הסגולית ליחידת תדר, Iν, (ארג לשנייה לס"מ רבוע להרץ) ניתנת ע"י:

I_{\nu}=2\pi h c^{-2} \nu^{3} \frac{1}{\exp{(h\nu/[ k_{B} T])}-1}

נציין כי במידה ומעונינים עוצמת הקרינה הסגולית ליחידת זווית מרחבית אזי יש לחלק את הנוסחאות האחרונות ב π. הסיבה לכך היא כי העוצמה של קרינת גוף שחור הנפלטת ממשטח שעליו צופים בזווית θ מונחתת בפקטור של cosθ - האינטגרל המרחבי על הפקטור הנ"ל מותיר אחריו פקטור π.

מספר הפוטונים ליחידת תדר ניתן ע"י:

n_{\nu}=2\pi c^{-2} \nu^{2} \frac{1}{\exp{(h\nu/[ k_{B} T])}-1}

ומספר הפוטונים ליחידת אורך גל:

n_{\lambda}=2\pi c \lambda^{-4} \frac{1}{\exp{(hc/[\lambda k_{B} T])}-1}

מהנוסחאות הנ"ל ניתן לגזור מספר קשרים חשובים שמקיימת קרינת גוף שחור:

חוק ריילי גיינס

(באנגלית Rayleigh–Jeans law) חוק זה הומצא לראשונה בשנות העשרים, לפני שפלנאק הציג את ההתפלגות שלו. חוק זה מצליח לתאר את קצה התדריות הנמוך (ביחס לאנרגיה) של ההתפלגות. כלומר, עבור תדריות המקיימות: hν < < KBT (היינו אורכי גל ארוכים) ניתן לרשום:

I_\nu=\frac{2\pi k_{B}T\nu^2}{c^2}

או

I_{\lambda}=\frac{2\pi k_{B}Tc}{\lambda^{4}}

גם כאן במידה ומעונינים עוצמת הקרינה הסגולית ליחידת זווית מרחבית אזי יש לחלק את הנוסחאות האחרונות ב π.

התפלגות ווין

עבור תדריות המקיימות: hν > > KBT (היינו אורכי גל קצרים) ניתן לרשום:

I_\nu=\frac{2\pi h\nu^{3}}{c^2}e^{-h\nu/(k_{B}T)}

שוב במידה ומעונינים עוצמת הקרינה הסגולית ליחידת זווית מרחבית אזי יש לחלק את הנוסחאות האחרונות ב π.

חוק סטפן בולצמן

(באנגלית Stefan Boltzmann Law) מתאר את סה"כ שטף הקרינה, E, הנפלט מגוף שחור בכל אורכי הגל, כתלות ברדיוסו r ובטמפרטורה שלו T:

E = σ4πr2T4

כאשר σ הינו קבוע סטפן בולצמן שערכו, ביחידות cgs, הינו 5.6705\times10^{-5} {\rm erg\,cm}^{-2} {\rm K}^{-4} ובמערכת יחידות SI התקנית: 5.6705\times10^{-8} {\rm watt\,m}^{-2} {\rm K}^{-4}.

קבוע סטפן בולצמן ניתן לביטוי ע"י קבועים פיזקליים בצורה הבאה:

\sigma_{B}=\frac{2c\pi^{5}k_{B}^{4}}{15c^{3}h^{3}}

חוק ווין

(באנגלית Wien Law) אורך הגל שבו קרינת הגוף השחור הינה מירבית, הינו מתכונתי הפוך לטמפרטורה:

\lambda_{max}=\frac{2.898\times10^{7}}{T}

כאשר T הטמפרטורה בקלווין, λmax אורך הגל של שיא הקרינה באנגסטרם (אנגסטרם שווה ל 10 − 10 מטר).

לחץ קרינה של גוף שחור

למרות שלפוטונים אין מסת מנוחה, הם נושאים עימם תנע קווי. לכן, כאשר הם פוגעים בחלקיקים אחרים הם מפעילים עליהם לחץ הקרוי לחץ קרינה. התנע p שנושא עימו פוטון בודד שווה ל:

p=h\nu c=\frac{hc^{2}}{\lambda}

כאשר h קבוע פלאנק, c מהירות האור, ν תדירות הקרינה ו- λ אורך הגל של הקרינה. לחץ הקרינה, Prad, מגוף שפולט קרינת גוף שחור ניתן ע"י:

P_{{\rm rad}}=\frac{1}{3}aT^{4}

כאשר T היא הטמפרטורה של הגוף השחור ו a הינו קבוע הקרינה וניתן ע"י:

a=\frac{4\sigma_{B}}{c}=\frac{8\pi^{5}k_{B}^{4}}{15c^{3}h^{3}}=7.5657\times10^{-15}~{\rm erg}\,{\rm cm}^{-3}\,{\rm K}^{-4}

כאשר σB הינו קבוע סטפן בולצמן, ו kB הינו קבוע בולצמן.

צפיפות האנרגיה של קרינת גוף שחור

צפיפות האנרגיה של קרינת גוף שחור ניתנת ע"י:

\frac{dE}{dV}=\,aT^{4}

ספקטרום ריילי-ג'ינס

החלק של עקומת הקרינה של גוף שחור הנמצא באורכי גל ארוכים יותר משיא הקרינה של הגוף השחור קרוי ספקטרום ריילי-ג'ינס (באנגלית: Rayleigh-Jeans Spectrum).

ניתן לקבל את ספקטרום ריילי-ג'ינס ע"י פיתוח של עקומת הקרינה של גוף שחור בטור חזקות. מאחר ו:

\exp\Big(\frac{h\nu}{k_{B}T}\Big)\approx 1 + \frac{h\nu}{k_{B}T} +\frac{1}{2}\Big(\frac{h\nu}{k_{B}T}\Big)^{2}+...

אזי בתחום ריילי-ג'ינס של הספקטרום, העוצמה הסגולית ליחידת תדר, Iν, (ארג לשנייה לס"מ רבוע להרץ) של קרינת גוף שחור ניתנת ע"י:

I_{\nu}=2\pi h c^{-2} \nu^{3} \frac{1}{\exp{(h\nu/[ k_{B} T])}-1}\approx 2\pi k_{B}T\Big(\frac{\nu}{c}\Big)^{2}

ספקטרום ווין

ספקטרום ווין (באנגלית: 'Wein Spectrum) הוא החלק של קרינת גוף שחור המצוי באורכי גל קצרים יותר משיא הקרינה של הגוף השחור. ספקטרום ווין הינו ספקטרום שדועך אקספוננציאלית.

טמפרטורת הארה

טמפרטורת הארה (באנגלית: Brightness Temperature) הוא מונח הקשור לקרינת גוף שחור ומציין את הטמפרטורה שהיתה יכולה להיות לגוף ששטף הקרינה הסגולי הנצפה שלו הינו Sν (ביחידות של ארג לס"מ רבוע לשנייה להרץ) אילו הוא היה גוף שחור ובהנחה כי שטף הקרינה הסגולי נצפה בתחום ריילי-ג'ינס של הספקטרום.

בהירות הטמפרטורה ניתנת ע"י שילוב ספקטרום ריילי-ג'ינס עם שטח הגוף (שרדיוסו R) והעובדה כי עוצמת הקרינה יורדת עם ריבוע המרחק d. בהירות הטמפרטורה מסומנת ב TB וניתנת ע"י:

T_{B}=\frac{S_{\nu}}{2\pi k_{B}} \Big(\frac{c}{\nu}\Big)^{2} \Big(\frac{d}{R}\Big)^{2}

שימו לב כי \frac{R}{d} הינו למעשה הרדיוס הזוויתי הנצפה של הגוף על פני כיפת השמיים.

טמפרטורת שיווי משקל של גוף בשדה קרינה

גוף הנמצא בשדה קרינה של גוף קורן יתחמם לטמפרטורת שיווי משקל שאותה ניתן לחשב מהשוואת הספק הקרינה המגיע לגוף והספק הקרינה הנפלט מהגוף. בהינתן גוף קורן בטמפרטורה T ובעל רדיוס R וגוף נוסף בעל רדיוס r המחומם על ידו ונמצא במרחק d מהגוף הקורן, הספק הקרינה הכללי Pr שמקבל הגוף ה"קר" שהאלבדו שלו A (אלבדו הוא השבר של האור המוחזר) הוא:

P_{r}=\,\frac{4\pi\sigma_{B} R^{2} T^{4} (1-A) \pi r^{2}}{4\pi d^{2}}

ואילו הספק הקרינה הנפלטת מהגוף Pe ניתן פשוט ע"י חוק סטפן בולצמן:

P_{e}=\,4\pi\sigma_{B} R^{2} T_{e}^{4}

כאשר Te היא טמפרטורת שווי המשקל של הגוף הקר. ע"י השוואת המשוואות ניתן לחלץ את Te ולקבל:

T_{e}=\,\Big(\frac{[1-A]R^{2}T^{4}}{4d^{2}}\Big)^{1/4}

לדוגמא, עבור כדור הארץ הנמצא בשדה הקרינה של השמש מקבלים טמפרטורה של כ 250 קלווין. טמפרטורה זו נמוכה מהטמפרטורה האופיינית על פני הקרקע, כיוון שהיא לא לוקחת בחשבון את התרומה כתוצאה מלכידת חום בשכבות התחתונות של האטמוספרה ע"י אפקט החממה.

קרינת גוף שחור בטבע

קרינת גוף שחור וכוכבים

קרינת גוף שחור תאורטית לגוף בטמפרטורה של 6000 קלווין (קו אדום). בכחול מצוין הספקטרום הנצפה של כוכב בעל טמפרטורה אפקטיבית של 6000 קלווין.
קרינת גוף שחור תאורטית לגוף בטמפרטורה של 6000 קלווין (קו אדום). בכחול מצוין הספקטרום הנצפה של כוכב בעל טמפרטורה אפקטיבית של 6000 קלווין.

בטבע, כוכבים בד"כ פולטים קרינה שהיא בקירוב קרינת גוף שחור. הסיבה לכך היא שכמות הקרינה המוחזרת מהכוכב קטנה מאד ביחס לכמות הקרינה המיוצרת ע"י הריאקציות התרמו-גרעיניות בליבת הכוכב. בפועל קיימים הבדלים בין קרינת גוף שחור והקרינה המגיעה מכוכבים מאחר והגז בפוטוספירה של הכוכב בולע קרינה באורכי גל מסוימים ועל כן מופיעים קווי בליעה באורכי גל מסוימים (אורכי גל שבהם חלק מהקרינה נבלעת).

בגרף משמאל ניתן לראות בכחול ספקטרום (עוצמת הקרינה כתלות באורך גל) של כוכב דמוי שמש. הקו האדום מייצג קרינת גוף שחור בטמפרטורה של 6000 קלווין. הספקטרום של הכוכב מראה קווי בליעה רבים הנוצרים באטמוספרה שלו והוא מתואר רק בקירוב גס ע"י קרינת גוף שחור.

מאחר והספקטרום של הכוכבים מתואר רק בקירוב ע"י עקומת גוף שחור, נהוג להגדיר גודל הקרוי טמפרטורה אפקטיבית (Effective temperature) של כוכב כטמפרטורה של גוף שחור שפולט את אותו שטף קרינה (מיחידת שטח).

מאחר והתפלגות הקרינה של כוכבים דומה להתפלגות פלאנק, ניתן לעשות שימוש בחוק סטפן-בולצמן על מנת לקשור בין הטמפרטורה האפקטיבית של כוכב (Te), רדיוסו (r), השטף הבולומטרי הנראה (f), והמרחק (d) לכוכב:

4\pi f d^{2}=4\pi \sigma_{B} r^{2} T_{e}^{4}

ניתן להחליף את רדיוס הכוכב מחולק במרחק (r/d) ברדיוס הזוויתי של הכוכב, וכך, מידיעת הטמפרטורה האפקטיבית ושטף הקרינה הנראה, ניתן למדוד ישירות את רדיוסו הזוויתי של כוכב.


קרינת הרקע הקוסמית

הספקטרום (עוצמה כתלות באורך גל או בתדירות) של קרינת הרקע הקוסמית כפי שנמדד ע"י הספקטרומטר האבסולוטי בתחום האינפרא אדום שעל גבי לויין המחקר לחקר קרינת הרקע הקוסמית COBE (עיגולים). הקו השחור מציין את ספקטרום הקרינה התאורטי של גוף שחור בטמפרטורה של 2.725 קלווין. שגיאות המדידה על גבי כל אחד מהעיגולים קטנות פי 400 מקוי השגיאה בסרטוט והוגדלו על מנת שיהיה ניתן להבחין בהן. המדידות הנ"ל מראות כי הספקטרום של קרינת הרקע הקוסמית מתואר בצורה כמעט מדויקת ע"י ספקטרום הקרינה של גוף שחור תאורטי.
הספקטרום (עוצמה כתלות באורך גל או בתדירות) של קרינת הרקע הקוסמית כפי שנמדד ע"י הספקטרומטר האבסולוטי בתחום האינפרא אדום שעל גבי לויין המחקר לחקר קרינת הרקע הקוסמית COBE (עיגולים). הקו השחור מציין את ספקטרום הקרינה התאורטי של גוף שחור בטמפרטורה של 2.725 קלווין. שגיאות המדידה על גבי כל אחד מהעיגולים קטנות פי 400 מקוי השגיאה בסרטוט והוגדלו על מנת שיהיה ניתן להבחין בהן. המדידות הנ"ל מראות כי הספקטרום של קרינת הרקע הקוסמית מתואר בצורה כמעט מדויקת ע"י ספקטרום הקרינה של גוף שחור תאורטי.


המקור הטבעי הדומה ביותר לקרינת גוף שחור הינו קרינת הרקע הקוסמית שהיא שריד של המפץ הגדול. קרינת הרקע הקוסמית היא קרינת גוף שחור בטמפרטורה של 2.73 קלווין והיא ממלאת את כל היקום. בממוצע, כל ס"מ מעוקב של היקום מכיל כ 410 פוטונים של קרינת הרקע הקוסמית.

הספקטרום של קרינת הרקע הקוסמית מאופיין בקירוב מצוין ע"י ספקטרום הקרינה של גוף שחור. באיור משמאל מוצג ספקטרום הקרינה המדוד, כפי שמוצע ע"י פני כל הכיוונים, של קרינת הרקע הקוסמית. צורת הספקטרום של גוף שחור מאופיינת ע"י פרמטר אחד בלבד (טמפרטורה) שקובע את צורתו. הספקטרום של קרינת הרקע מתאים בדיוק רב (עם סטיות קטנות בלבד) לספקטרום התאורטי של גוף שחור.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק

כלים אישיים