ליקוי ירח

מתוך Astropedia

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הגאומטריה של ליקוי ירח וצל כדור הארץ. באיור ניתן להבחין (בצבע) אפור בצל המלא של כדור הארץ (ובצבע אפור בהיר) בצל החלקי של כדור הארץ. צופה הנמצא בצל המלא של כדור הארץ לא יראה את השמש בעוד צופה הנמצא בצל החלקי של כדור הארץ יראה רק חלק מהשמש.
הגאומטריה של ליקוי ירח וצל כדור הארץ. באיור ניתן להבחין (בצבע) אפור בצל המלא של כדור הארץ (ובצבע אפור בהיר) בצל החלקי של כדור הארץ. צופה הנמצא בצל המלא של כדור הארץ לא יראה את השמש בעוד צופה הנמצא בצל החלקי של כדור הארץ יראה רק חלק מהשמש.

ליקוי ירח או ליקוי לבנה (באנגלית: Lunar Eclipse) היא התופעה המתרחשת כאשר הירח נכנס לחרוט הצל של כדור הארץ. במצב זה, צופה הנמצא על אזור בירח הנמצא בצל כדור הארץ, לא יראה את השמש, או יראה רק חלק מהשמש. הגאומטריה של צל כדור הארץ מודגמת באיור משמאל. באיור ניתן להבחין בצבע אפור בצל המלא של כדור הארץ, ובצבע אפור בהיר בצל החלקי של כדור הארץ. צופה הנמצא בצל המלא של כדור הארץ לא יראה את השמש, בעוד צופה הנמצא בצל החלקי של כדור הארץ יראה רק חלק מהשמש.

אם נרצה לצייר את הציור הנ"ל בקנה מידה אמיתי, לדוגמא יחידת המידה הבסיסית תיהיה רדיוס כדור הארץ, אזי הירח נמצא במרחק ממוצע של כ-60 רדיוסי ארץ מכדור הארץ (384,400 ק"מ). השמש נמצאת במרחק ממוצע של כ-23,500 רדיוסי ארץ מכדור הארץ (ראו יחידה אסטרונומית). האורך הממוצע של הצל המלא של כדור הארץ הינו כ-217 רדיוסי ארץ (1.38 מיליון ק"מ) ואילו זווית הקודקוד של הצל המלא הינה כ-0.53 מעלות. במרחק של הירח מכדור הארץ קוטרו של חרוט הצל המלא של כדור הארץ הינו כ-1.44 רדיוסי ארץ (9200 ק"מ) או 5.3 רדיוסי ירח. על כן ליקוי ירח מלא יכול להיות ארוך למדי ולהמשך מספר שעות.

תוכן עניינים

הקדמה

ליקוי חמה: באיור העליון צל הירח "מפספס" את כדור הארץ ואילו באיור התחתון צל הירח חולף על כדור הארץ. באיור נראה רק הצל המלא של הירח (האזור שצופה העומד בתוכו לא רואה אף חלק ממקור האור, קרי השמש), כאשר הצל המלא חולף על כדור הארץ, צופה העומד במסלול הצל המלא רואה ליקוי חמה מלא, קרי השמש מוסתרת לחלוטין ע"י הירח. מסביב לאזור הצל המלא קיים אזור הצל החלקי שצופה העומד בו יראה ליקוי חמה חלקי - עבור צופה המצוי באזור הצל החלקי של הירח רק חלק מהשמש מוסתר ע"י הירח.
ליקוי חמה: באיור העליון צל הירח "מפספס" את כדור הארץ ואילו באיור התחתון צל הירח חולף על כדור הארץ. באיור נראה רק הצל המלא של הירח (האזור שצופה העומד בתוכו לא רואה אף חלק ממקור האור, קרי השמש), כאשר הצל המלא חולף על כדור הארץ, צופה העומד במסלול הצל המלא רואה ליקוי חמה מלא, קרי השמש מוסתרת לחלוטין ע"י הירח. מסביב לאזור הצל המלא קיים אזור הצל החלקי שצופה העומד בו יראה ליקוי חמה חלקי - עבור צופה המצוי באזור הצל החלקי של הירח רק חלק מהשמש מוסתר ע"י הירח.

הירח וכדור הארץ אינם מפיקים אור בכוחות עצמם, אלא מוארים ומחזירים אור המגיע מהשמש. ליקוי ירח הינו התופעה המתרחשת כאשר הירח נכנס לצלו של כדור הארץ ואילו ליקוי חמה הינו התופעה המתרחשת כאשר הירח חולף בינינו לבין השמש ומסתיר אותה.

אילו הירח היה מקיף את כדור הארץ באותו מישור בו מקיף כדור הארץ את השמש, היינו רואים ליקוי ירח (וליקוי חמה) פעם בחודש, כאשר הירח מלא נמצא בהמשך הקו המחבר את השמש וכדור הארץ. בזמן זה הירח עשוי היה להימצא בצילו של כדור הארץ והיה מתרחש ליקויי ירח. בפועל, לא מתרחש ליקוי ירח אחת לחודש מאחר ומסלול הירח סביב כדור הארץ נטוי בזווית של כ-5 מעלות ביחס למישור ההקפה של כדור הארץ את השמש (מישור המילקה). על כן, לעיתים הירח חולף "מעל" או "מתחת" לצל של כדור הארץ ועל כן ליקויי ירח הינם נדירים יותר ולא מתרחשים אחת לחודש.

העניין מודגם באיור משמאל - בחלק העליון, הירח לא חולף דרך צל כדור הארץ ואילו באיור התחתון הוא חולף דרכו ומתרחש ליקוי.

סוגי הצל

כפי שהודגם באיור העליון, מבדילים בין שני סוגי צל:

צל מלא

צל מלא (באנגלית: Umbra) הוא אזור הצל המוסתר לחלוטין ממקור האור, קרי צופה העומד באזור הצל המלא לא יראה אף חלק של מקור האור (השמש במקרה הנ"ל). בפועל, כתוצאה משבירת אור באטמוספרה של כדור הארץ אור מהשמש (בעיקר אור אדום) מגיע לאזור הצל המלא ועל כן בעת ליקוי ירח מלא ניתן לראות את הירח (ראו הסבר מפורט להלן).

צל חלקי

צל חלקי (באנגלית: Penumbra) הוא אזור הצל המוסתר באופן חלקי. צופה שיעמוד באזור זה יראה רק חלק ממקור האור (השמש). גוף הנמצא באזור חצי הצל יקבל רק חלק מאור השמש ועל כן יהיה ניתן לראות אותו אך עצמת אורו תיהיה פחותה.

למעשה כאשר הירח נמצא באזור חצי הצל של כדור הארץ ומתרחש ליקוי חצי צל של הירח קשה מאד להבחין בשינוי כלשהו מאחר וכל שרואים הוא שעוצמת האור של הירח נמוכה מבד"כ. מאחר ואין לנו בד"כ למה להשוות את עצמת האור של הירח קשה להבחין בליקוי חצי צל. צופה מיומן ה"מכיר" את עצמת אורו הנורמלית של הירח עשוי להבחין בליקוי חצי צל כאשר הוא בשלבים מתקדמים ועצמת אורו של הירח פחותה בעשרות אחוזים מעצמת אורו הנורמלית.

סוגי ליקויים

בהתאם למיקום הירח בתוך חרוט הצל המלא והחלקי של כדור הארץ, נהוג לסווג ליקויי ירח לטיפוסים הבאים:

ליקוי ירח מלא

ליקוי ירח מלא (באנגלית: Penumbral Lunar Eclipse) מתרחש כאשר כל דיסקת הירח נמצאת בתוך חרוט הצל המלא של כדור הארץ.

הרדיוס הממוצע של חרוט הצל של כדור הארץ הינו 2.700 רדיוסי ירח, במרחק הירח מכדור הארץ (רדיוס ממוצע - מאחר והמרחק בין הירח וכדור הארץ אינו קבוע, וכן המרחק בין השמש וכדור הארץ אינו קבוע. ראו נספח מתמטי בהמשך). על כן, כאשר הירח חולף בתוך חרוט הצל של כדור הארץ הוא לא בהכרח חולף בדיוק דרך המשכו של הקו המחבר את כדור הארץ והשמש. המרחק בין מרכז דיסקת הירח ומרכז חרוט הצל של כדור הארץ מסומן בד"כ באות γ ונמדד ביחידות של רדיוס כדור הארץ בקו המשווה.

עוד נציין כי אם מתרחש ליקוי ירח מלא, לפני ואחרי הליקוי המלא נראה (במידה והירח יהיה מעל האופק בזמן התצפית) גם ליקוי ירח חלקי וליקוי ירח חצי צל (ראו להלן).

השלב המלא של ליקוי ירח יכול להמשך לכל היותר כ-106 דקות.

ליקוי ירח חלקי

ליקוי ירח חלקי (באנגלית: Partial Lunar Eclipse) מתרחש כאשר חלק מדיסקת הירח נמצא בתוך חרוט הצל המלא של כדור הארץ וחלקו האחר באזור הצל החלקי.

ליקוי ירח חצי צל

ליקוי ירח חצי צל (באנגלית: Umbral Lunar Eclipse) מתרחש כאשר חלק או כל הירח נמצא באזור חצי הצל של כדור הארץ וחלקו האחר, במידה ולא כל הירח נמצא בצל חלקי, מצוי באזור המואר (קרי הוא מקבל אור שמש מלא).

בדרך כלל קשה להבחין בליקוי ירח חצי צל. אומנם בעת ליקוי ירח חצי צל עוצמת האור הכללית של הירח פוחתת במקצת, לא נראים עליו סימנים נוספים, כמו אלו הנראים בעת ליקוי צל מלא. כאמור, צופה מיומן ה"מכיר" את עצמת אורו הנורמלית של הירח עשוי להבחין בליקוי חצי צל כאשר הוא בשלבים מתקדמים ועצמת אורו של הירח פחותה בעשרות אחוזים מעצמת אורו הנורמלית.

זמני נקודות מגע

איור של הצל המלא (אזור אדום), הצל החלקי (אזור ירוק) ונקודת המגע השונות של הירח בצל כדור הארץ.
איור של הצל המלא (אזור אדום), הצל החלקי (אזור ירוק) ונקודת המגע השונות של הירח בצל כדור הארץ.

כאשר הירח נכנס לחרוט הצל החלקי והמלא של כדור הארץ, שפת הירח נוגעת בשפת חרוטי הצל. בד"כ בתחזיות עבור ליקויי ירח מצויינים הזמנים שבהם מתרחשים המגעים הראשונים והאחרונים בין שפת דיסקתו הנראית של הירח וחרוטי הצל של כדור הארץ.

ניתן להבדיל בין הזמנים הבאים (הזמנים מופיעים כאן בסדר התרחשותם במידה ומתרחש ליקוי ירח מלא):

  • תחילת ליקוי חצי צל – מסומן ב P1, הזמן שבו הירח מתחיל להיכנס לצל חלקי.
  • תחילת ליקוי צל מלא - מסומן ב U1, הזמן שבו הירח מתחיל להיכנס לצל מלא.
  • תחילת ליקוי מלא – מסומן ב U2, הזמן שבו הירח נכנס כולו לצל המלא.
  • שיא הליקוי המלא – הירח נמצא בקרבה המרבית להמשך הקו המחבר את השמש ואת כדור הארץ.
  • סוף ליקוי מלא – מסומן ב U3, הזמן שבו הירח מתחיל לצאת מהצל המלא.
  • סוף ליקוי צל מלא – מסומן ב U4, הזמן שבו הירח כולו יוצא מהצל המלא.
  • סוף ליקוי חצי צל – מסומן ב P4, הזמן שבו הירח סיים לצאת מהצל החלקי.

המגעים הנ"ל מודגמים באיור משמאל, שבו נראים הצל המלא (אזור אדום), הצל החלקי (אזור ירוק) ונקודת המגע השונות של הירח בצל כדור הארץ.

עוצמת הליקוי

עוצמת הליקוי (באנגלית: Magnitude of Eclipse) הינו גודל המבטא, בזמן שיא הליקוי, איזה חלק של הירח מצוי בצל כדור הארץ. נהוג להבחין בשני סוגי עוצמה:

  • עוצמת ליקוי חצי צל (באנגלית: Penumbral Magnitude) הוא השבר של קוטר הירח שנמצא בתוך חצי הצל של כדור הארץ.
  • עוצמת ליקוי צל מלא (באנגלית: Umbral Magnitude) הוא השבר של קוטר הירח שנמצא בתוך הצל המלא של כדור הארץ.

מדוע רואים את הירח כאשר הוא בצל המלא

הדגמה להארת צל כדור הארץ ע"י אור הנשבר באטמוספרה של כדור הארץ. האור האדום חודר ביתר קלות את האטמוספרה של כדור הארץ אך הוא יוצא מהאטמוספרה לאחר שכיוונו השתנה בכמעלה (כלפי כדור הארץ). מאחר וזווית הקודקוד של הצל המלא של כדור הארץ הינה כחצי מעלה, אזי האור האדום שנשבר באטמוספרה מאיר חלקים נרחבים של חרוט הצל המלא של כדור הארץ ומכאן צבעו האדמדם של הירח בעת ליקוי מלא.
הדגמה להארת צל כדור הארץ ע"י אור הנשבר באטמוספרה של כדור הארץ. האור האדום חודר ביתר קלות את האטמוספרה של כדור הארץ אך הוא יוצא מהאטמוספרה לאחר שכיוונו השתנה בכמעלה (כלפי כדור הארץ). מאחר וזווית הקודקוד של הצל המלא של כדור הארץ הינה כחצי מעלה, אזי האור האדום שנשבר באטמוספרה מאיר חלקים נרחבים של חרוט הצל המלא של כדור הארץ ומכאן צבעו האדמדם של הירח בעת ליקוי מלא.
צילום של ליקוי ירח מלא. ניתן להבחין בצבעו האדמדם של הירח הנובע כאמור מאור אדום החודר דרך האטמוספרה של כדור הארץ, אך נשבר בה, ומאיר חלקים נרחבים של חרוט הצל המלא. צילום: אור דובנוב-רז.
צילום של ליקוי ירח מלא. ניתן להבחין בצבעו האדמדם של הירח הנובע כאמור מאור אדום החודר דרך האטמוספרה של כדור הארץ, אך נשבר בה, ומאיר חלקים נרחבים של חרוט הצל המלא. צילום: אור דובנוב-רז.

אומנם בעת ליקוי ירח מלא יכול הירח להיות "עמוק" בתוך הצל המלא של כדור הארץ ואור לא היה אמור להגיע אליו – בכל זאת גם בעת ליקוי מלא אין הירח נעלם לחלוטין וניתן להבחין בו בעין, וצבעו חום אדמדם. הסיבה לכך היא שבירת אור באטמוספרה של כדור הארץ. בעוד האור הכחול מתפזר באטמוספרה (ומכאן צבעם הכחול של השמיים) האור האדום חודר ביתר קלות את האטמוספרה של כדור הארץ, אך יוצא מהאטמוספרה לאחר שכיוונו השתנה בכמעלה (כלפי כדור הארץ). מאחר וזווית הקודקוד של הצל המלא של כדור הארץ הינה כחצי מעלה, האור האדום שנשבר באטמוספרה מאיר חלקים נרחבים של חרוט הצל המלא של כדור הארץ ומכאן צבעו האדמדם של הירח בעת ליקוי מלא. באיור משמאל מודגמת התופעה של שבירת האור באטמוספרה של כדור הארץ וכיצד היא מאירה את החלקים הפנימים של הצל המלא. באיור סומנה האטמוספרה של כדור הארץ בירוק לשם הדגשה.

בתמונה התחתונה משמאל נראה הירח כפי שצולם בעת ליקוי ירח מלא. ניתן להבחין בצבעו האדמדם של הירח הנובע כאמור מאור אדום החודר דרך האטמוספרה של כדור הארץ, אך נשבר בה, ומאיר חלקים נרחבים של חרוט הצל המלא.

צבעו ובהירותו של הירח בעת ליקוי ירח תלויים בתכולה של אטמוספרת כדור הארץ. כאשר האטמוספרה עשירה באבק דק, אורכי גל קצרים יותר מפוזרים ביתר יעילות ואור צהוב לא מסוגל לחדור דרכה. במצב זה הליקויים אדומים במיוחד והירח נראה חיוור מאד ולעיתים אף קשה להבחין בו בעין. ברוב הליקויים לעומת זאת, בעת שיא הליקוי לירח גוון אדמדם צהבהב וניתן לראותו בעין בקלות רבה. ליקויים חיוורים מאד מתרחשים בד"כ לאחר התפרצויות גדולות של הרי געש המעשירות את האטמוספרה של כדור הארץ באבק דק.

מחזוריות של ליקויי ירח

כפי שהסברנו בהקדמה ליקוי ירח איננו מתרחש אחת לחודש (אם כי לעיתים יתכנו שני ליקויי ירח בהפרש של חודש). כאמור, מסלול הירח נטוי בזווית של כ-5 מעלות ביחס למישור המילקה ועל כן בד"כ הירח עובר מתחת או מעל לצל של כדור הארץ. מאחר והאוריינטציה של מסלול הירח "קבועה" במרחב (למעשה אין הדבר נכון בדיוק ומסלול הירח מבצע פרסציה במחזור של 18.6 שנה – ראו גם נוטציה), כל חצי שנה בקרוב הירח חולף בקרבת צל כדור הארץ ועל כן התדירות הבסיסית שבה מתרחשים ליקויים הינה אחת לכ- 6 חודשים (או ליתר דיוק 173.3 [יממה שמשית|יום]] שהם חצי שנה דרקונית). בפועל, הענין מסובך יותר ויתכנו גם שנים ללא ליקויים או חודשים עוקבים שבהם מתרחשים ליקויי ירח.

במבט היסטורי, כבר בתקופת הבבלים גילו שליקויי חמה ולבנה מתרחשים במחזוריות מסוימת – הנובעת משילוב האורכים של החודש הדרקוני, החודש האנומליסטי והחודש הסינודי ונקראת סארוס (ראו מאמר מורחב על מחזור הסארוס). מחזור הסארוס הינו בן 18 שנה 11 ושליש יום.

בניגוד לליקוי חמה שאותו ניתן לראות רק מאזורים מצומצמים על כדור הארץ, כאשר מתרחש ליקוי ירח ניתן לראותו מכל מקום על כדור הארץ שבו הירח נמצא מעל האופק (מאחר ובזמן ליקויי ירח הירח נמצא מול השמש אזי ממקומות שבהם הירח מעל האופק שורר לילה).

סטטיסטיקה של ליקויי ירח

כל שנה מתרחשים בין 2 ל-5 ליקויי ירח ובממוצע כל שנה מתרחשים כ-2.44 ליקויי ירח. ב-70.8% מהשנים מתרחשים שני ליקויי ירח, ב 17.7% מהשנים שלושה ליקויים, ב 10.8% מהשנים ארבעה ליקויים ואילו ב 0.7% מהשנים מתרחשים חמישה ליקויי ירח. כ- 36.7% מליקויי הירח הינם ליקוי חצי צל, כ 34.6% הינם ליקויי צל מלא חלקיים ואילו כל היתר (28.8%) הינם ליקויים מלאים.

הפרש הזמן בין שני ליקויי ירח עוקבים יכול להיות 1, 5 או 6 חודשים סינודים. כאשר ב 12.7% מהמקרים ההפרש הוא חודש סינודי אחד, ב 24.1% מהמקרים חמישה חודשים ובכל היתר (63.2%) ההפרש הוא שישה חודשים.

נספח מתמטי

אורך הצל של כדור הארץ

אורך חרוט הצל המלא של כדור הארץ dp ניתו ע"י הביטוי הבא, שניתן לגזור מדימיון משלושלים:

d_{p}=\frac{R_{\oplus}d_{\odot}}{R_{\odot}-R_{\oplus}}

כאשר R_{\oplus} הוא רדיוס כדור הארץ (6371 ק"מ בקו המשווה), R_{\odot} הוא רדיוס השמש (696,000 ק"מ) ו d_{\odot} הוא המרחק בין כדור הארץ לשמש (בערך יחידה אסטרונומית אחת).

אורך הצל הממוצע של כדור הארץ הוא 1.382 מיליון ק"מ.

רדיוס חרוט הצל המלא

לעומת זאת רדיוס הצל המלא של כדור, Rp, הארץ במרחק של הירח מכדור הארץ, dm ניתן ע"י:

R_{p}=\frac{R_{\oplus}}{d_{p}}(d_{p}-d_{m})


עבור המרחק הממוצע בין כדור הארץ לירח ובין כדור הארץ לשמש, רדיוס זה שווה ל 4599 ק"מ שהם 2.647 רדיוסי ירח. יש לציין כי בפועל האטמוספרה של כדור הארץ מגדילה את חרוט הצל של כדור הארץ בשיעור של 1/50, כך שיש להכפיל את רדיוס הצל שקיבלנו פי 1.02 ונקבל 2.700 רדיוסי ירח.

רדיוס חרוט הצל החלקי

לעומת זאת רדיוס הצל החלקי, Ru במרחק הירח מכדור הארץ ניתן ע"י:

R_{u}=R_{\oplus}+\frac{2R_{\odot}d_{m}}{d_{\odot}+d_{m}}

שהוא, עבור המרחקים הממוצעים, 6373 ק"מ שהם 5.720 רדיוסי ירח.

מדידת המרחק בין כדור הארץ לירח

באיור (לא בקנה מידה) השמש מסומנת בצהוב, כדור הארץ בכחול והירח באפור. ניתן לראות כי כתוצאה מכך שהשמש מצויה במרחק סופי מכדור הארץ כאשר צופה מכדור הארץ יראה את הירח מואר בדיוק כחצי עיגול אזי מרחקו הזוויתי מהשמש שונה מעט מ 90 מעלות.
באיור (לא בקנה מידה) השמש מסומנת בצהוב, כדור הארץ בכחול והירח באפור. ניתן לראות כי כתוצאה מכך שהשמש מצויה במרחק סופי מכדור הארץ כאשר צופה מכדור הארץ יראה את הירח מואר בדיוק כחצי עיגול אזי מרחקו הזוויתי מהשמש שונה מעט מ 90 מעלות.


במאה השלישית לפני הספירה אריסטרכוס מסאמוס מדד את המרחק בין כדור הארץ לירח באמצעות תצפית בליקוי ירח - השיטה שבה עשה שימוש מפורטת להלן.

ראשית יש להראות כי המרחק בין כדור הארץ לשמש גדול בהרבה מהמרחק בין כדור הארץ לירח. זאת ניתן לעשות ע"י מדידת המרחק הזוויתי בין השמש לירח בעת שהחלק המואר של הירח הינו בדיוק חצי. באיור משמאל (לא בקנה מידה) השמש מסומנת בצהוב, כדור הארץ בכחול והירח באפור. ניתן לראות כי כתוצאה מכך שהשמש מצויה במרחק סופי מכדור הארץ כאשר צופה מכדור הארץ יראה את הירח מואר בדיוק כחצי עיגול אזי מרחקו הזוויתי מהשמש שונה מעט מ 90 מעלות.

נסמן את המרחק בין כדור הארץ לשמש ב d_{\odot}, את המרחק בין כדור הארץ לירח ב dm, ואת המרחק הזוויתי בין השמש לירח כאשר הירח נראה כחצי עיגול ב φ. אזי:

\cos{\phi}=\,\frac{d_{m}}{d_{\odot}}

למעשה במידה ומודדים את הזווית φ אזי ניתן לאמוד את מרחק כדור הארץ מהשמש ביחידות של מרחק הירח מכדור הארץ. אריסטרכוס העריך כי הזזוית הנ"ל הינה כ 87 מעלות, אך הערכה זו היתה מוגזמת וערכה האמיתי של הזווית הנ"ל היא 89.8529 מעלות (90 מעלות פחות 8.8 דקות קשת). בכל מקרה העובדב כי הזווית הנ"ל קרובה ל 90 מעלות משמעותה כי המרחק בין כדור הארץ לשמש גדול בהרבה מהמרחק בין כדור הארץ לירח:

d_{\odot}\gg\,d_{m}

השלב הבא בחישובו של אריסטרכוס היה למדוד את קוטרו של חרוט הצל של כדור הארץ, שמטיל כדור הארץ על הירח, ביחידות של רדיוס הירח בעת ליקוי ירח. האיור משמאל מראה את תנועת הירח בתוך ההטל של חרוט הצל המלא והחלקי של כדור הארץ בעת ליקוי (ראו מאמר מורחב בנושא: ליקוי ירח).

בנוסף הוא עשה שימוש בעובדה כי קוטרו הזוויתי של הירח θm הינו דומה מאד לקוטרה הזוויתי של השמש \theta_{\odot}. עובדה זו ידועה מתצפיות בליקוי חמה.

עובדה זו משמעותה כי (בקרוב של זוויות קטנות):

\theta_{\odot}\cong\,\frac{R_{\odot}}{d_{\odot}}\cong\,\frac{R_{m}}{d_{m}}\cong\,\theta_{m}

כאשר Rm ו R_{\odot} הינם רדיוסי הירח והשמש, בהתאמה והרדיוסים הזוויתים נמדדים ברדיאנים.

משיקולים של דימיון משולשים, ניתן להראות כי אורך חרוט הצל של כדור הארץ ניתן ע"י:

d_{p}=\frac{R_{\oplus}d_{\odot}}{R_{\odot}-R_{\oplus}}\cong\,\frac{R_{\oplus}d_{\odot}}{R_{\odot}}

כאשר R_{\oplus} הינו רדיוס כדור הארץ. בחלק של הביטוי מימין עשינו שימוש בעובדה כי המרחק בין כדור הארץ לשמש גדול ברהבה מהמרחק בין כדור הארץ לירח.

שוב באמצעות דימיון משולשים ניתן להראות כי רדיוס חרוט הצל של כדור הארץ, במרחק של הירח מכדור הארץ ניתן ע"י:

R_{p}=\frac{R_{\oplus}}{d_{p}}(d_{p}-d_{m})

אם נציב בביטוי האחרון את הביטוי המקורב עבור אורך חרוט הצל ונשתמש בביטוי עבור הרדיוסים הזוויתים, נקבל:

R_{p}\cong\,R_{\oplus} - d_{m}\theta_{\odot}=\,R_{\oplus}-R_{m}

עתה, בעת ליקוי ירח מלא מרכזי (שהירח עובר בדיוק במרכז חרוט הצל המלא) יש למדוד את רדיוס חרוט הצל המלא של הירח ביחידות של רדיוס הירח. ניתן לעשות זאת ע"י מדידת הזמן שלוקח לירח להיכנס לצל המלא ומדידת הזמן שלוקח לירח לחצות את הצל המלא. נסמן את רדיוס חרוט הצל שממדנו ביחידות של רדיוס הירח ב k ואז מהמביטוי האחרון נקבל:

kR_{m}\cong\,R_{\oplus}-R_{m}

ועל כן:

R_{m}\cong\,\frac{R_{\oplus}}{1+k}

לבסוף עלינו למדוד את רדיוסו הזוויתי של הירח (ברדיאנים) ואז נוכל לרשום את המרחק לירח ביחידות של רדיוס כדור הארץ:

d_{m}=\frac{R_{m}}{\theta_{m}}\cong\,\frac{R_{\oplus}}{\theta_{m}(1+k)}

עוד נציין כי היקף כדור הארץ (ועל כן הרדיוס) היה ידוע ליוונים ממדידות שערך ארסטוטנס במאה השלישית לפני הספירה. ארסטוטנס ערך את מדידותיו באמצעות מדידת זווית הגובה של השמש מעל האופק (בעת שהיא בשיא גובהה בשמיים) משני אתרים המצויים על אותו קו אורך ושהמרחק בינהם על פני כדור הארץ, d, ידוע. במקרה זה משיקולים גאומטרים פשוטים נובע כי:

R_{\oplus}=\,\frac{d}{\phi}

כאשר φ הינה ההפרש בין זווית הגובה הנמדדת בשני האתרים.

ראו גם הסברים נוספים בהרצאות הוידאו המקושרות.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים


ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק

כלים אישיים