אלמנטים של מסלול

מתוך Astropedia

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הגדרה הגאומטרית המקובלת של אלמנטי המסלול. באיור ניתן להבחין במישור יחוס ובמסלול הגוף. אורך הקשר העולה Ω נמדד בין כיוון יחוס כלשהו לקו הקשרים. אורך הפריאפסיס, ω, נמדד בין הפריאפסיס וקו הקשרים ואילו נטיית המסלול, i, היא הזווית בין מישור היחוס והמישור שמוגדר ע"י מסלול הגוף.
הגדרה הגאומטרית המקובלת של אלמנטי המסלול. באיור ניתן להבחין במישור יחוס ובמסלול הגוף. אורך הקשר העולה Ω נמדד בין כיוון יחוס כלשהו לקו הקשרים. אורך הפריאפסיס, ω, נמדד בין הפריאפסיס וקו הקשרים ואילו נטיית המסלול, i, היא הזווית בין מישור היחוס והמישור שמוגדר ע"י מסלול הגוף.

אלמנטים של מסלול (באנגלית: Orbital Elements) הם מערכת של שישה 6 פרמטרים בלתי תלויים המתארים מסלול של גוף סביב גוף אחר (ראו גם: תנועה דו-גופית, משוואת קפלר וחוקי קפלר).

מחוקי ניוטון אנו יודעים כי מסלולם של שני עצמים המקיפים זה את זה (הבעיה הדו גופית) הם חתכים חרוטיים (מעגל, אליפסה, פרבולה הוא היפרבולה). האלמנטים של מסלול מתארים את האורינטציה של המסלולים הנ"ל במרחב, את פחיסות המסלול (אקצנטריות), ממדיו וזמן יחוס כלשהו.

על מנת לחשב את מסלולם היחסי של שני גופים סביב מרכז המסה שלהם (בעיית שני הגופים), יש לפתור את משוואות התנועה של ניוטון. משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות מסדר שני וסך הכל יש לפתור שלוש משוואות, אחת לכל ציר מרחבי. פתרןן המשוואות מניב 6 פרמטרים (קבועי האינטגרציה של המשוואות הדיפרנציאליות) המתארים את צורת המסלול, האורינטציה שלו במרחב ותנאי ההתחלה (היכן נמצא הגוף ברגע מסוים).

תפקיד אלמטי המסלול הוא כאמור לייצג את המסלול, אך אלמנטי המסלול אינם מציינים (בעצמם) היכן נמצא העצם בכל רג ורגע. על מנת למצוא את מיקiם העצם לאורך המסלול יש לפתור את משוואת קפלר.

תוכן עניינים

הצורה המקובלת להצגת אלמנטים של מסלול

ישנם מספר דרכים להציג את הפרמטרים הנ"ל והמקובלת ביותר מחלקת אותם לפרמטרים המובאים להלן. בפרמטרים הנ"ל ישנן שלושה זוויות הקרויות לעיתים: האלמנטים הגאומטרים של קמפבל (באנגלית: Campbell Geometric Elements) וכן מרחק אופיני, זמן אופיני וגודל המייצג את צורת החתך החרוטי.

אורך הקשר העולה

אורך הקשר העולה (באנגלית: Longitude of Ascending Node), מסומן באות Ω, הוא המרחק הזוויתי בין נקודת הקשר העולה לכיוון מרחבי מוסכם (ראו להלן). במערכת השמש נהוג להשתמש בנקודת שוויון האביב (Vernal Equinox) שהיא גם הנקודה בשמיים המגדירה את קו אורך שמימי אפס. בכוכבים כפולים נהוג להשתמש בכיוון של הקוטב השמיימי הצפוני. אורך הקשר העולה מודגם באיור משמאל.


הקשר העולה מוגדר ע"י נקודת החיתוך בין מישור המסלול למישור יחוס מוסכם (למשל מישור מערכת השמש במקרה של מערכת השמש, או מישור השמיים במקרה של כוכבים כפולים). באיור משמאל ניתן להבחין בשתי נקודות הקשרים (באנגלית: Nodes), הקו המחבר את שתי נקודות הקשרים קרוי קו הקשרים (באנגלית: Line of Nodes). מאחר ויש שתי נקודות קשרים בין שני מישורים שחותכים זה את זה, הנקודה שבה הגוף חוצה את מישור הייחוס כלפי הכיוון שמוגדר למעלה (צפון במקרה של מערכת השמש ולכיוון הפונה החוצה מכדור הארץ במקרה של כוכבים כפולים) נקראת הקשר העולה' (באנגלית: Ascending Node) ואילו הנקודה השנייה נקראת הקשר היורד (באנגלית: Descending Node).

הן מיקומה של נקודת השוויון והן מיקומו של הקוטב השמיימי הצפוני נעים כתוצאה מנקיפת ציר הסיבוב של כדור הארץ. על כן אלמנטים של מסלול (כמו גם קורדינאטות שמימיות) ניתנים ביחס למערכת יחוס כלשהי (למשל ביחס לנקודת השוויון J2000.0, קרי נקודת השוויון בשנה היוליאנית 2000.0 לא מתוקנת לנוטציה).

אורך הפריאפסיס

אורך הפריאפסיס (באנגלית: Longitude of the Periapsis), מסומן באות ω הוא המרחק הזוויתי בין הפריאפסיס ובין קו הקשרים. אורך הפריאפסיס מוגדר באיור משמאל.

פריאפסיס (באנגלית: Periapsis) היא הנקודה על חתך חרוטי (למשל אליפסה) בעלת המרחק המזערי מהמוקד שבקרבתו נמצא הגוף השני. נקודה נוספת שראוי לציין בהקשר זה היא: אפואפסיס (באנגלית: Apoapsis) שהיא הנקודה על חתך קוני סגור (אליפסה או מעגל) המרוחקת ביותר מהמוקד בו נמצא הגוף השני.

עבור עצמים המקיפים את כדור הארץ (למשל הירח או לווינים) נקודות המסלול הקרובות והמרוחקות ביותר מכדור הארץ נקראות: פריגי (באנגלית: Perigee) ואפוגי (באנגלית: Apogee). הנקודה הקרובה ביותר לשמש במסלולו של עצם נקראת פריהליון (באנגלית: Perihelion). לעצמים המקיפים את השמש במסלול אקצנטרי, הנקודה המרוחקת ביותר מהשמש נקראת אפהליון (באנגלית: Aphelion). לגופים המקיפים כוכבים כלשהם נקראות נקודות אלה פריאסטרון (באנגלית: Periastron) ואפאסטרון (באנגלית: Apastron), בהתאמה. הקו המחבר בין הפריאפסיס לאפואפסיס קרוי קו האפיסידים (באנגלית: Line of Apsides).

נטיית המסלול

נטיית המסלול (באנגלית: Inclination), מסומנת באות i, היא הזווית בין מישור המסלול של הגוף ומישור היחוס. נטיית המסלול מודגמת באיור משמאל.

נטיית המסלול תמיד נרשמת בין 0 ל 90 מעלות. כאשר אורך הקשר העולה נמצא בין 180 ל 360 מעלות, הדבר שקול לנטיית מסלול שלילית.


אקסצנטריות המסלול

אקסצנטריות המסלול (באנגלית: Eccentricity), מסומנת באות e, היא גודל המתאר את צורתו של המסלול (ראו הגדרה גאומטרית בערך מורחב על חתכים חרוטיים ו וקטור האקסצנטריות).


המסלולים בתנועת שני גופים קלאסית הינם תמיד אחד החתכים חרוטיים (חתך של חרוט בזוויות מסוימות), מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה. עבור מעגל אקסצנטריות המסלול שווה ל 0. עבור אליפסה האקצנטריות היא בין 0 ל 1, עבור פרבולה האקצנטריות שווה בדיוק ל 1 ואילו עבור היפרבולה האקצנטריות גדולה מ 1.

באליפסה מידת האקסצנטריות קשורה לחצי הציר הארוך של האליפסה a, לחצי הציר הקצר של האליפסה b, לחצי המרחק בין הקודקודים המגדירים של האליפסה c ולמרחק בפריאפסיס q ע"י הביטויים הבאים (לקשרים נוספים ראו: חתכים חרוטיים):

e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{c}{a}=1-\frac{q}{a}

מרחק הפריאפסיס

מרחק הפריאפסיס (באנגלית: Periapsis distance), מסומן באות q, הוא המרחק המינמלי בין שני הגופים. מרחק הפריאפסיס מודגם באיור משמאל.

במערכת השמש נהוג לקרוא למרחק זה מרחק הפריהליון, ובמערכות של כוכבים כפולים מרחק הפריאסטרון.

זמן הפריאפסיס

זמן הפריאפסיס (באנגלית: Time of Periapsis), מסומן באות ‎T, הוא הזמן שבו הגוף עובר בפריאפסיס.

במערכת השמש נהוג לקרוא לזמן זה זמן הפריהליון, ובמערכות של כוכבים כפולים זמן הפריאסטרון.


הצגה חלופית של אלמנטי המסלול

לעיתים מחליפים חלק מאלמנטי המסלול הנ"ל באלמנטים אחרים.

למשל עבור מסלולים סגורים ניתן להחליף את מרחק הפריאפסיס, q, בחצי הציר הארוך של האליפסה, a. הקשר בינהם הוא כאמור:

q=a\,(1-e)

או:

a=\frac{q}{1-e}

כאשר e היא אקצנטריות המסלול.


החלפה נוספת, שכיחה פחות, היא הגדרת הזווית:

\tilde{\omega}=\,\Omega+\omega

שימו לב זווית זו איננה נמצאת על מישור בודד.


לעיתים, עבור מסלולים סגורים מחליפים את זמן הפריאפסיס, T, בשלשה גדלים אחרים. הראשון הוא מהירות זוויתית ממוצעת (באנגלית: Mean Motion), שמסומנת ב n, וניתנת ע"י חלוקת המעגל (למשל ברדיאנים או 360 מעלות) בזמן המחזור של הגוף (ראו: חוקי קפלר ומשוואת קפלר), אילו הגודל השני הוא האנומליה ההמוצעת, M0, בזמן יחסו כלשהו והגודל השלישי הוא זמן היחוס, t0.


הקשר בינהם ניתן ע"י:

T=\,t_{0}-\frac{M_{0}}{n}

וכן ניתן לחילופין לעשות שימוש בקו האורך הממוצע L0 המוגדר:

L_{0}=\,M_{0}+\tilde{\omega}

אלמנטים של טילה-אינס

אלמנטים של טילה-אינס (באנגלית: Thiele-Innes Elements) הם צורה אחרת לרישום שלושת האלמנטים הגאומטריים של מסלול.


A=\,a(\cos{\omega}\cos{\Omega}-\sin{\omega}\sin{\Omega}\cos{i})

B=\,a(\cos{\omega}\sin{\Omega}+\sin{\omega}\cos{\Omega}\cos{i})

F=\,a(-\sin{\omega}\cos{\Omega} - \cos{\omega}\sin{\Omega}\cos{i})

G=\,a(-\sin{\omega}\sin{\Omega}+\cos{\omega}\cos{\Omega}\cos{i})

C=\,a\sin{\omega}\sin{i}

H=\,a\cos{\omega}\sin{i}

אלמנטים של ברטאגנון

דרך נוספת להצגת אלמנטי המסלול שבה נעשה שימוש בפיתוח אלמנטי המסלול בטורים בתאוריה האנליטית VSOP82 ע"י (Bretagnon 1982) היא ע"י האלמנטים: L0, h, k, q, p, γ ו a. גדלים אלו קשורים לאלמנטי המסלול המקובלים ע"י:

k=\,e\cos(\tilde{\omega})

h=\,e\sin(\tilde{\omega})

q=\,\gamma\cos(\Omega)

p=\,\gamma\sin(\Omega)

\gamma=\,\sin(i/2)

כאשר a הוא חצי הציר הארוך ו L0 הינו קו האורך הממוצע.

שימוש באלמנטי המסלול לחישוב קורדינאטות קרטזיות

לאלגוריתמים לחישוב קורדינאטות שמימיות של גופים במערכת השמש מאלמנטי המסלול שלהם ראו גם מאמר מורחב בנושא: אפימרידים.

בהינתן האנומליה האמיתית, ν והרדיוס וקטור r, שאותם ניתן למצוא מפיתרון משוואת קפלר, מיקום הגוף בקורדינאטות קרטזיות ביחס למערכת היחוס שבה ניתנים אלמנטי המסלול הוא:

x=\,r[\cos(\nu+\omega)\cos(\Omega)-\sin(\nu+\omega)\cos(i)\sin(\Omega)]

y=\,r[\cos(\nu+\omega)\sin(\Omega)+\sin(\nu+\omega)\cos(i)\cos(\Omega)]

z=\,r\sin(\nu+\omega)\sin(i)

למשל עבור גופים במערכת השמש הקורדינאטת המתקבלות יהיו קורדינאטות הליוצנטריות (ביחס לשמש) לנקודת השוויון ולמילקה.

והנגזרות של הקורדינאטות ע"פ הזמן הן:

\dot{x}=\,x\frac{\dot{r}}{r}-r\dot{\nu}[\sin(\nu+\omega)\cos(\Omega)+\cos(\nu+\omega)\cos(i)\sin(\Omega)]


\dot{y}=\,y\frac{\dot{r}}{r}-r\dot{\nu}[\sin(\nu+\omega)\sin(\Omega)-\cos(\nu+\omega)\cos(i)\cos(\Omega)]


\dot{z}=\,z\frac{\dot{r}}{r}+r\dot{\nu}\cos(\nu+\omega)\sin(i)

לחישוב ν, r ונגזרותיהם ע"פ הזמן ראו מאמר מורחב בנושא: משוואת קפלר.

תיאור וקטורי של אלמנטי המסלול

הקורדינאטות הקרטזיות (וקטור יחידה) בכיוון ניצב למישור הסיבוב ובכיוון וקטור התנע הזוויתי של המסלול ניתנות ע"י:

x=\,\sin(i)\sin(\Omega)

y=\,-\sin(i)\cos(\Omega)

z=\,\cos(i)


הקורדינאטות הקרטזיות (וקטור יחידה) של הפריאפסיס ניתנות ע"י (ראו גם: משוואת קפלר):

x=\,\cos(\omega)\cos(\Omega)-\sin(\omega)\cos(i)\sin(\Omega)

y=\,\cos(\omega)\sin(\Omega)+\sin(\omega)\cos(i)\cos(\Omega)

z=\,\sin(\omega)\sin(i)

גודל זה קשור גם לוקטור האקסצנטריות.

התמרת אלמנטים ממערכת אקליפטית למערכת משוונית

ניתן להמיר אלמנטים של מסלול הניתנים ביחס למערכת קורדינאטות אקליפטית, i ו Ω לאלמנטים במערכת יחוס משוונית, i' ו Ω' באמצעות הקשרים הבאים (ראו טריגונומטריה כדורית).

\cos(i')=\,-\cos(\pi-i)\cos(\epsilon)+\sin(\pi-i)\sin(\epsilon)\cos(\Omega)

\cos(\Omega')\sin(i')=\,\cos(\pi-i)\sin(\epsilon)+\sin(\pi-i)\cos(\epsilon)\cos(\Omega)

\sin(\Omega')\sin(i')=\,\sin(\Omega)\sin(\pi-i)

כאשר ε הינה נטיית מישור המילקה. שימו לב: הנוסחא הראשונה משמת למציאת i' ואילו יש צורך בשתי המשוואות הנוספות למציאת Ω' (אחת עבור קוסינוס הזווית והשנייה עבור סינוס הזווית), כך ש:

\Omega'=\,{\rm atan2}[\sin(\Omega'), \cos(\Omega')]

את אורך הפריהליון במערכת היחוס החדשה, ω' ניתן לקבל ע"י חישוב הזווית α שהיא הזווית של הצלע המנוגדת לזווית ε וניתנת ע"י:

\sin(\alpha)\sin(i')=\,\sin(\Omega)\sin(\epsilon)

ואז:

\omega'=\,\omega+\alpha

הזווית בין שני מסלולים

זווית הנטייה, φ, היחסית בין שני מישורים שהאלמנטים של המסלול הראשון הינם i1 ו Ω1 ושל המסלול השני i2 ו Ω2, ניתנת ע"י:

\phi=\,\cos(i_{1})\cos(i_{2})+\sin(i_{1})\sin(i_{2})\cos(\Omega_{1}-\Omega_{2})

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק

כלים אישיים